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标题: 这是一道耐人寻味的数学题 [打印本页]

作者: H·H·Y 时间: 2014-7-6 13:48
标题: 这是一道耐人寻味的数学题
本帖最后由 H·H·Y 于 2014-7-6 16:33 编辑

某人请你玩一个游戏。

现在你面前一共有三道门，其中一道门后面是奖品，另外两道门后面是空的，现在你拥有一次机会选择打开三扇门中的一扇，若打开门后能够看见奖品，那么奖品就是你的了。

于是你就随机地去选一扇门，正要打开的时候，请你玩这个游戏的人打开了另外一扇门，而那扇门后面是空的，于是他就问你：“现在你依然要坚持自己的选择吗？”（补充：此人为游戏的发起者，所以知道奖品的位置。每一次开门都会选择空门打开。）
三道门中已经确认有一道门后是空的，也就是说，剩下的两扇门中只有一扇门后面有奖品。于是现在你拥有了再次选择的机会，那么你是要坚持你一开始选的门呢，还是换另外一扇门呢？

请先思考以上问题。思考完了再往下看。

你现在一定认为，两扇门中其中一扇打开后可以获得奖品，获得奖品的几率都是二分之一，换不换门无所谓。
这看上去很合理。
但是发现，事实上两扇门获得奖品的概率是不一样的，你一开始选择的那一扇门中奖概率只有三分之一，而另外一扇门中奖概率却有三分之二。

这看上去似乎很难理解，LZ刚开始的时候也非常难以理解，这特么怎么可能？！

大部分人是不相信的，于是我们来做一下游戏模拟。
LZ花了点时间将游戏规则用RMXP还原，经过了一上午的多达两万三千多次的模拟之后得出了这么一组数据：

数据显示，如果不考虑换不换门的问题的话，中奖概率确实是二分之一，但是如果加以考虑换门的话，得出的数据就截然不同了。
没有换门的时候中奖几率只有三分之一左右，而换门之后中奖次数却远高于失败次数。

刚刚看到这组数据的时候我也吓了一跳，为到底是为什么？

网上给出的解释是：当你选择了门1的时候，门1只担任了三分之一的中奖概率，剩下三分之二的中奖概率由剩下的两道门担任，主持人将那两扇门排除了一扇，那么最后一扇门就担任了两扇门的中奖概率，概率将会是三分之二。同理可得，如果门的总数不是三扇而是一百扇，你选择了一扇，那么剩下的99%的概率由剩下的九十九扇门担任，主持人排除了九十九扇门中的九十八扇，那么剩下的最后一扇将会担任99%的中奖概率，按4L所说，这其实不是让你两扇门中二选一的问题，而是让你在一扇门和九十九扇门中二者选一。

怎么样，是不是很吓人？换门是让你中奖的最佳选择，以后跟你的朋友们玩玩这个游戏的时候就摆多一点选择，这样的话就会百发百中哟！

作者: 机械守护者 时间: 2014-7-6 13:50
本帖最后由机械守护者于 2014-7-6 13:58 编辑

这不科学，不科学。
会不会是rm随机值机制本身有问题

作者: soulsaga 时间: 2014-7-6 14:19
这样算根本没意义..
算几率跟门后一定有奖品根本不同意义...

作者: 断电 时间: 2014-7-6 14:47
_(:з」∠)_我也不知道我想的对不对。
首先看“保持原来选项，不换门”这个选择的概率，不管是3门选1还是100门选1，它的概率都符合古典概型，即概率是三分之一和100分之一
假设A=“不换门”，已知Ｐ（Ａ）＝１／３，那么显然Ｐ（Ａ的对立事件）＝１－１／３＝２／３
也就是说，“换门”这个行为不代表你重新选择了一扇门，而相当于选择了剩下的所有门。
好像有点难理解，这么说吧，假如这个问题是这样的，三扇门里面只有一扇后面有宝物，我先让你选一扇，等你选好了，我问你“你现在有一次换的机会，你可以保持现在选的这一扇，或者同时选择剩下的两扇”这么问的话估计大家都会选后者，即同时选剩下的两扇。
这个问题的陷阱就在这里，提问者从“剩下的门”中选择了没有宝物的一扇公开了，似乎是把它所承载的概率消除了，但实际上并没有，它依然是“剩余门”这个整体中的一部分。所以“换门”并不意味着做一个新的等概率的二选一选择，而是选择了剩余的整体。其实就和网上的那个解释差不多，只不过如果我告诉你哪些门是空的，“剩余门”就被“最后一扇未知的门”代表了，因为你不会再从剩余门内部做出选择了。

简单来说，这就是一个“选一扇门还是选９９扇门”的问题。

作者: 杨广 时间: 2014-7-6 14:48
我觉得是随机机制有问题
一开始的概率是1/3,所以分配给他的概率是1/3
然后对于另一扇没被开的门，给的概率是1-1/3
我觉得可能是系统上的问题吧。

作者: awedcvgyujm 时间: 2014-7-6 15:29
或许可以从条件概率的角度进行考虑
A: 你选中了正确的门
B: 主持人打开了一扇空门
已知P(A)=1/3，现在要求的是P(A|B)

P(A|B) = P(AB) / P(B)
由于无论你选中的门是否正确，主持人总能打开一扇空门，所以 P(AB) = P(A)， P(B) = 1
所以 P(A|B) = 1/3

作者: taroxd 时间: 2014-7-6 15:33
本帖最后由 taroxd 于 2014-7-6 15:46 编辑

一开始选的那个门，根据生活常识，中奖率当然是1/3
你一开始没选中，换门就一定能选中，换门的中奖率当然是2/3

一堆P(A)、P(A|B)啥的解释，网上的解释，真不知道都是在干什么。这个问题至多只用到了初中的概率知识而已

作者: awedcvgyujm 时间: 2014-7-6 16:03

taroxd 发表于 2014-7-6 15:33
一开始选的那个门，根据生活常识，中奖率当然是1/3
你一开始没选中，换门就一定能选中，换门的中奖率当然是 ...

我初中数学是体育老师教的怎么可能没学好！w

其实这题和请你玩这个游戏的朋友有关系
如果他不知道那扇门后面有奖品也是随机开门的话这题的答案就不是1/3而是1/2

LZ你敢重做一次实验，加上“被朋友打开有奖品的门而作废”这个结果然后再统计成功的概率吗？w
@H·H·Y

作者: taroxd 时间: 2014-7-6 16:06
本帖最后由 taroxd 于 2014-7-6 16:18 编辑

awedcvgyujm 发表于 2014-7-6 16:03
我初中数学是体育老师教的怎么可能没学好！w

其实这题和请你玩这个游戏的朋友有关系

无论他是否知道哪扇门后面有奖品，只要开门的结果是没有奖品的，概率依旧是 1/3、2/3

只需要结果就可以了，和朋友知不知情没有关系。

↑ 这个大概不是初中范畴了

作者: awedcvgyujm 时间: 2014-7-6 16:13

taroxd 发表于 2014-7-6 16:06
无论他是否知道哪扇门后面有奖品，只要开门的结果是没有奖品的，概率依旧是 1/3、2/3

只需要结果就可以 ...

知不知情这点满重要的
枚举所有情况进行分析的话可以得到1/2的结果
为了表述方便假设参与者永远只会选1号门，那么有以下六种情况

1. 奖品在1号门后，朋友打开了2号门 → 成功
2. 奖品在1号门后，朋友打开了3号门 → 成功
3. 奖品在2号门后，朋友打开了2号门 → 作废
4. 奖品在2号门后，朋友打开了3号门 → 失败
5. 奖品在3号门后，朋友打开了2号门 → 失败
6. 奖品在3号门后，朋友打开了3号门 → 作废

可见朋友的行为如果是随机的，那么就有可能排除一些情况从而使得概率发生变化

作者: taroxd 时间: 2014-7-6 16:17
本帖最后由 taroxd 于 2014-7-6 16:19 编辑

awedcvgyujm 发表于 2014-7-6 16:13
知不知情这点满重要的
枚举所有情况进行分析的话可以得到1/2的结果
为了表述方便假设参与者永远只会选1号 ...

这是“作废”这种情况是不是应该考虑在分母上的问题……

规则没讲清楚导致的歧义

我原来的理解是，朋友打开了门，如果有奖，你就赢了。如果没奖，变成题目中的情况……啊怎么越来越乱了

总之朋友开出了奖算是怎么样，题目没说啦~\(≧▽≦)/~

作者: awedcvgyujm 时间: 2014-7-6 16:24

taroxd 发表于 2014-7-6 16:17
这是“作废”这种情况是不是应该考虑在分母上的问题……

规则没讲清楚导致的歧义

不用算在分母里，这不是歧义
作废的情况是朋友打开了有奖品的门而不是空门，所以不符合题意的要求

_(:з」∠)_

作者: IamI 时间: 2014-7-6 16:27
这个不是概率论基础的么……概率是2/3

作者: 天使喝可乐 时间: 2014-7-6 16:33
理解{:2_249:}

作者: taroxd 时间: 2014-7-6 16:36

awedcvgyujm 发表于 2014-7-6 16:24
不用算在分母里，这不是歧义
作废的情况是朋友打开了有奖品的门而不是空门，所以不符合题意的要求

所以作废是算作“无奖”、“有奖”、还是“retry”？
如果是retry，那么答案确实是 1 / 2

作者: kuerlulu 时间: 2014-7-6 16:40
喂喂这不是高中数学里面的条件概率吗!!

作者: awedcvgyujm 时间: 2014-7-6 16:42

taroxd 发表于 2014-7-6 16:36
所以作废是算作“无奖”、“有奖”、还是“retry”？
如果是retry，那么答案确实是 1 / 2 ...

这和奖励没有关系，因为整个故事已经变成了“朋友请我玩一个游戏，但他自己却笨拙的打开了有奖品的门”，之后不管是“朋友很大度的把奖品给了我”，还是“我们不欢而散”，抑或是“我们约好下次再玩这个游戏”，都已经是another story，不再是“朋友请我玩游戏，然后机智的打开了一扇空门”了w

作者: taroxd 时间: 2014-7-6 16:49

awedcvgyujm 发表于 2014-7-6 16:42
这和奖励没有关系，因为整个故事已经变成了“朋友请我玩一个游戏，但他自己却笨拙的打开了有奖品的门”， ...

条件没看233

作者: chd114 时间: 2014-7-6 17:10

taroxd 发表于 2014-7-6 15:33
一开始选的那个门，根据生活常识，中奖率当然是1/3
你一开始没选中，换门就一定能选中，换门的中奖率当然是 ...

其实就是这样= =
中奖=1/3
不中奖=2/3
主持人开门
中奖+=1/3
不中奖-=1/3

作者: satgo1546 时间: 2014-7-6 19:45
我用橙光还原过；某橙光大神（忘记他名字了）用MATLAB还原过。

作者: 无脑之人 时间: 2014-7-6 19:48
高中数学书讲的很明白，b站还有一堆视频，记住是2/3就好了
需要证明就去网上搜就好了，这玩意比0.99999... = 1还绝对

作者: 菜鸟飞呀飞 时间: 2014-7-6 19:52
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作者: Fakmab 时间: 2014-7-6 22:01
我觉得概率是二分之一不代表试两万多次就一定很接近。

知道英特尔的奔腾命名传说不，二分之一的概率，结果出来确是十一比零

作者: 布里蓝 时间: 2014-7-6 22:49
这个流言终结者验证过的，就是几率从三分之一增加到了二分之一

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