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原因,A is not well-defined。
要想知道A是什么,就必须清楚A的定义是什么,否则是无法回答这个问题的。
有限和的定义已经十分明确了,那么无穷和该如何定义?
在高等数学中,无穷和的一种定义就是采取有限和取极限的办法:如果有限和序列A1,A2,...的极限存在,那么就将此极限定义为A∞的值。如果极限不存在,则A∞不存在。这里涉及到了序列极限的定义,请参考高等数学中的epsilon-N定义模式。
在这种定义下,A∞是不存在的,也就是说讨论他到底等于多少是没有任何意义的。
因此,晴兰大大给出了两种解释都是不对的,在这种定义下,对于无穷和,不能随便添加括号改变求和顺序,也不能随便使用交换律随便改变数字相加的顺序。一个极端的例子是由Riemann定理导出的,考虑Leibniz级数∑(-1)^n / n,则可以证明,如果可以任意交换数字相加的顺序,那么这个数可以等于任何的实数。但实际上这个无穷和有唯一确定的值。
PS:以上讨论都基于高等数学对级数,极限的定义,如果换一种定义方式,则不在本人讨论的范围之内。例如,物理学家推导了1+2+...+n+...=-1/12,他们采取的级数定义和高等数学里面的不同,并没有什么好争的。
PPS:数学上,对于一个东西的定义影响到相关的结论。考虑这样的一个问题:世界上先有鸡还是先有蛋?
1) 如果将“能生出蛋的生物定义为鸡”,那么结论如何?
2) 如果将“能孵出鸡的东西定义为蛋”,那么结论又如何? |
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