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标题: 一个有关博弈的问题【答案已公布】 [打印本页]

作者: RyanBern 时间: 2015-2-1 22:31
标题: 一个有关博弈的问题【答案已公布】
本帖最后由 RyanBern 于 2015-2-3 17:38 编辑

~~大家好，我又来骗糖了。~~
他们说我发出来的题目里面都是要死人的，第一次发了个扔海里喂鱼的，第二次发了个自杀的。那么这次就发个和谐愉快的吧，嗯。

老规矩，第一个回复答案的同学有100糖，所有能解释答案的同学视解释的质量给10~66糖。

问题如下：
某日，RM论坛要举办一个论坛活动，该论坛活动以RMXP，RMVX，RMVA为主题。但是由于活动只能办一次，所以本次活动的主题只能从三个制作工具里面选出一个出来。那么选哪个自然就成了问题。于是，每一个提问区派出一个代表来讨论究竟选哪个制作工具。代表如下（不要问我为啥是这三个人）：
RMXP：RB（就是本人）
RMVX：P叔
RMVA：taroxd
其实，在选出代表之前，各个提问区内部已经决定了选择制作工具的原则（也不要问我为啥是这个策略）：
RB：最优先选RMXP，其次是RMVA，最后才是RMVX
P叔：最优先选RMVX，其次是RMXP，最后才是RMVA
taroxd：最优先选RMVA，其次是RMVX，最后才是RMXP
三个人将自己的原则熟记于心后，见面开始讨论。
讨论的方式非常简单，三个人各选择一个制作工具，然后给这个工具投票（不可以弃权）。不过，由于P叔是超级版主，等级比较高，所以P叔有一票决定权（三个人都知道P叔有这样逆天的权力），即当三个工具的票数为1:1:1时，投票无效，并且由P叔决定本次活动的主题。此外的情况，遵循少数服从多数的原则，确定本次活动主题。

那么我的问题是：本次活动主题最可能是什么？

当然，以下的这些条件不可缺少：
1.所有人都会严格按照自己的原则进行选择。
2.投票时，三个人之间禁止任何交流，也无法看到其他人到底投了什么。
3.三个人都足够理智，都有能力为自己做出最好的投票策略（这一条一般逻辑题里面都有）

为期两天了，可以公布答案了。
首先，答案就是：本次活动的主题将为RMVA。换句话说，P叔虽然有逆天的“一票决定权”，但是结果就是R和T联合选出了最不利于P叔的选项。那么到底为什么呢？
喵呜喵5给出了一个分析的角度，但是还不是很完全，在这里给出另外一个角度。

下面用R代替RB，用P代替P叔，用T代替taroxd。

有一个细节我想大家有可能忽略了，就是R绝对不会选VX。原因非常简单，因为无论怎么选，对于R来说，最差就是VX，无论是少数服从多数还是P的一票决定，R选VX是对自己没有任何好处的。这一点喵呜的回帖中已经指出，不过在这里说明一下。至于P会不会选VA，T会不会选XP还有待商榷（此二人的情况和R的有所不同）。

有了这个细节，我们开始继续分析。当然，由于三个人都是理智的，所以刚才提到的细节三个人也都会想到。喵呜是从R开始分析的，实际上，由于P的条件比较多，从P的角度分析有可能会更清楚一些。

由于R不会选VX，所以对于每个P的决策，R和T共有2*3=6种组合。下面表格分析了对于固定的R和T的选择，P选VX/XP时对应的收益（收益的定义和喵呜的一样）。

P的选择	R的选择	T的选择	P的收益
VX	XP	VA	100
XP	XP	VA	50
VX	XP	VX	100
XP	XP	VX	50
VX	XP	XP	50
XP	XP	XP	50
VX	VA	VA	0
XP	VA	VA	0
VX	VA	VX	100
XP	VA	VX	100
VX	VA	XP	100
XP	VA	XP	50

这个表格两行一组比较，说明了当R和T投票相同时，P选择VX/XP得到的收益。我们发现，第一行的收益不小于第二行，第三行的收益不小于第四行，以此类推。注意，第1.3.5.7.9.11行都是P选VX的情况，而2.4.6.8.10.12都是P选XP的情况。这就说明，P选XP这一决策是不容许的（在这里借用一下这个专业名词），或者说，选VX比选XP有一致的优势，所以P一定不会选XP。

再由三个人都是理智的，所以所有人现在已经知道了两个条件：R不会选VX，P不会选XP。

然后我们再从T的角度分析，刚才说到，R和P分别只有两种选择，所以对于每个T的决策，R和P共有2*2=4种组合。下面表格分析了对于固定的R和P的选择，T选VX/XP时对应的收益。

T的选择	R的选择	P的选择	T的收益
VX	XP	VX	50
XP	XP	VX	0
VX	XP	VA	50
XP	XP	VA	0
VX	VA	VX	50
XP	VA	VX	50
VX	VA	VA	100
XP	VA	VA	100

同样的，第1.3.5.7行代表了T选VX的情况，第2.4.6.8行代表了T选XP的情况。这就说明，T选XP这一决策也是不容许的。所以T也一定不会选XP。

然后分析R的收益情况，R已经知道P和T都不会选XP，而自己又不会选VX。此时对于每个R的决策，P和T共有2*2=4种组合。

R的选择	P的选择	T的选择	R的收益
XP	VX	VA	0
VA	VX	VA	50
XP	VX	VX	0
VA	VX	VX	0
XP	VA	VA	50
VA	VA	VA	50
XP	VA	VX	0
VA	VA	VX	50

我们可以看到，对于R来说，和选VA相比，选XP是不容许的。所以R其实非常悲催，无论如何他也选不到自己最喜欢的XP了，于是他万般无奈选了VA。

剩下的工作就非常简单了，聪明的T已经推出R选VA，那么自己再投一票VA，和R达成2:1来决定最终结果，无论P最后选的是什么。

作者: 永恒の未知数 时间: 2015-2-1 22:50
RMXP吧.......

作者: myownroc 时间: 2015-2-1 22:54
由于p叔知道他能逆天，于是会选VX
taroxd知道p叔能逆天选VX，故会选择对他而言次优的VX
而RB知道taroxd会退而求其次，故会选择次优的VA以便和taroxd形成2:1的情形
taroxd考虑到这种情况，于是放弃退而求其次的思路，选择VA
p叔同样考虑到了这个情况，于是p叔也退而求其次选择XP以便和RB形成2:1的情形
RB考虑到这种情况，就放弃退而求其次的思路，选择XP
taroxd考虑到了上述情况，选择VX以便和p叔形成2:1的情形
……
以上循环往复
结论：这仨货这辈子别想得出结论（大雾）

作者: 喵呜喵5 时间: 2015-2-1 23:45
本帖最后由喵呜喵5 于 2015-2-2 00:18 编辑

这场撕逼大战是闹哪出…………

由于……不行各种名字太难打，简写一下嗯
A：最优先选1(价值100)，其次是3(价值50)，最后才是2(价值0)
B（一票决定权）：最优先选2(价值100)，其次是1(价值50)，最后才是3(价值0)
C：最优先选3(价值100)，其次是2(价值50)，最后才是1(价值0)

所有理论上可能的投票结果如下：

111(1),112(1),113(1),121(1),131(1),211(1),311(1)

122(2),123(2),132(2),212(2),213(2),221(2),222(2),223(2),231(2),232(2),312(2),321(2),322(2)

133(3),233(3),313(3),323(3),331(3),332(3),333(3)

接着，由于A选择价值0的选项2什么好处都没有（
不论是通过选2形成多票当选的局面或是在撕逼过程中用来牵制他人形成1:1:1的局面最终收益都为0
），
所以排除A选择2的所有结果，变成下面这样：

111(1),112(1),113(1),121(1),131(1),311(1)

122(2),322(2)

一票否决：123(2),132(2),312(2),321(2),

133(3),313(3),323(3),331(3),332(3),333(3)

此时，A有两种只会选择1或者选择3，
但是，还是由于A选择价值0的选项2什么好处都没有，如果出现一票否决的话，最终价值为0，
所以A要避免出现一票否决的那四种情况，即A必须想办法和C选择相同的选项

由于这三个人都足够理智~~的在撕逼~~，

所以，C也知道A的想法，因此，C会放心大胆的选择3*，此时A也会选择3

==========================================================

所以这是RMVA的胜利。

~~都是P叔的错。~~

==========================================================

C选3这里还存疑，其实应该把接下去的价值期望全部列出来论证C是否一定会选3的……脑袋疼懒得做…………

作者: H·H·Y 时间: 2015-2-1 23:59
RB角度：
如果三人都选最优先，P叔必定有决定VX的权利，如果我选VA和T触一起也不错。但是P叔没有傻到乖乖就范，有可能会选择次优的XP，但应该不会选VA，如果T触考虑到这点就一定会选VA，那我就牺牲一下，选VA。

P叔角度：
如果三人都选最优先，吾必定有决定VX的权利，但是他们绝对不会轻易放过吾。

R的VA是次优，有可能会和T触联手对抗吾，但是T触亦知道吾有优先决定权，VX亦是次优，那么就存在和吾一起选VX的可能。那么吾到底是选VX呢？还是VA呢？

T触角度：
如果三人都选最优先，P叔必定有决定VX的权利。选VX也不错，但是如果R也明白这点，如果选了VA怎么破？但照局势来看，具有优先决定权的P叔最不可能选择VA，如果R也知道这一点的话，选择VA的几率就会比选择XP大，那么我也选VA好了。

得出结论：直接特么找P叔和T触本人啊！(╯‵□′)╯︵┻━┻

作者: 英顺的马甲 时间: 2015-2-2 00:10
p ["XP","VX","VA"][rand(3)]
以上

作者: 上贺茂润 时间: 2015-2-2 08:48
博弈什么的最乱了233
题外话：一个人使用什么工具、对什么工具有什么偏见不重要，重要的是是否用他选择的工具做出了像样的作品。

作者: chd114 时间: 2015-2-2 12:46
~~有了P叔以后这题就比前面两个题目混账多了~~
安安也是VA区前版主，为何不算上呢···

作者: 正太君 时间: 2015-2-3 11:45
应该是VX的规律最大吧...理由如下...
假如P叔梦遗特权，那么桑个工具的概率是古典概型...都是1/3概率...
现在P叔的特权破坏了古典概型，而且是利好VX的，所以VX的概率理论上是最大的...咿咿...

作者: 喵呜喵5 时间: 2015-2-3 14:43
R绝对不会选VX同意，

但是P绝对不会选VA，T绝对不会选XP需要讨论才能知道

例如，假设P选VA时会使票数变成1：1：1，那么P就会选VA

T的话假设但无法选择VA时，若T选择XP能使票数变成1：1：1，那么T会选择XP

只有R当票数变成1：1：1时得不到好处，因此R肯定不会选VX

作者: stevenrock 时间: 2015-2-3 15:25
为了避免脑细胞的无谓伤亡，强忍着不看题目，直到公布答案后再来吐槽。

作者: 越前リョーマ 时间: 2015-2-4 10:19
题目设置比答案更有意思2333

作者: myownroc 时间: 2015-2-4 11:02
既然所有人都是理智的，那p叔应该能够考虑到RB和taroxd联手的情况啊啊啊啊啊
真正的结果是死循环得不出结论啊（严重大雾）

作者: 禾西 时间: 2015-2-4 19:05
本帖最后由禾西于 2015-2-4 19:26 编辑

上來看豆嗶之後發現這個有趣的題目，於是我也來解釋一下吧w
由於三人都有足夠的理智，所以都會分析對方的選擇。咱們先從最簡單的開始：
額外條件1:每個人都會優先選擇最大收益，然後是次要收益，最後才是最低收益。因此大家都不願意選擇最低收益的一個poi。

從P的角度
另外兩人的選擇組合最有可能是：
XP+VA=這時P選VX的話就可以使用一票權達到最大收益，選XP達次要收益poi
XP+VX=這時P選VX的話就達到最大收益，選XP達次要收益poi
VA+VA=這時P無論選哪個都沒有收益(無所謂的情況)poi
VA+VX=這時P選VX的話就達到最大收益，選XP可以使用一票權達到最大收益poi
就算對方失去理智
VX+RMVA/RMVX/RMXP=這時P還是會選VX的話就達到最大收益poi
XP+XP=這時P無論選哪個都沒有收益(無所謂的情況)poi
XP+VA=選VX的話就達到最大收益，選XP達次要收益poi
XP+VX=選VX的話就達到最大收益，選XP達次要收益poi
所以從P的角度來看，選VX是最穩當的高收益，至於其他人聯手……那麼他選甚麼都沒所謂poi。
綜合來看，P選VX的機率是最高的，其次是XP，VA的機率是0poi

R的角度來看
其他人的理智選擇有可能是：
XP+VA=R選XP收益最高，選VA次之poi
XP+VX=R選XP收益最高，選VA和VX都是0收益poi
VX+VA=R選VA收益一般，選XP和VX都是0收益poi
VX+VX=R選甚麼都無所謂了poi
要是對方失去理智，那麼
VA+VA=R選VA收益一般，選XP和VX都是0收益，但是概率是0poi
VA+VX=R選VA收益一般，選XP和VX都是0收益，但是概率是0poi
VA+XP=R選XP高收益，選VA低收益，但是概率是0poi
VX+XP=R選XP高收益，選VA 0收益poi
XP+XP=R選XP高收益，選VA 0收益poi
不好決定，所以先看看神怎麼選吧
T神是裏面智商最高的。他算了算其他人的選擇：
XP+XP=嗯，選啥都無所謂poi
XP+VX=選VA還是VX都是選VXpoi
VA+VX=VA大法好，VX也可以poi
VA+XP=VA收益最高，VX其次poi
要是其他人瘋了，那麼：
VX+VX=無所謂選啥poi
VX+XP=VX和VA都一樣poi
VA+VA=肯定VApoi
XP/VX/VA+VA=選VA就好了poi
所以結論是 T學霸閉着眼睛就挑VApoi。

這樣子，R的選擇收縮爲：
XP+VA 或者 VX+VA
T觸手逼得R無路可走，選XP的話是50/50，最穩當還是選VA吧

回到P視覺，由於得知R會被逼到只能選XP或者VA
當R選XP的時候，XP+VA=P選VX收益最大poi
當R選VA的時候，VA+VA=P選甚麼都無所謂poi

所以P會更願意選VXpoi。

所以結果最可能是VApoi，VX其次poi，XP就別想了。T我不敢直呼他的名字怕懷孕決定了整個遊戲的玩法poi。

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