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标题: 贴吧里发现一个有趣的MS概率学问题~~ [打印本页]
作者: swbb    时间: 2015-9-22 11:22
标题: 贴吧里发现一个有趣的MS概率学问题~~
唔唔~~本人在凡人吧挖坟挖到的，觉得挺有意思，MS不需要真的懂什么科学，其实也能讨论！不懂科学还不懂生活了么。。。


三口箱子，其中一口有奖品，嘉宾上台随机选择一口（未打开），然后主持人打开另一口箱子，发现箱子里没奖品，这时主持人给嘉宾一个机会重新选择。那么问题来了：
一 挖掘技术哪家强？
二 换好还是不换好？


那啥~~~坟帖在此：http://tieba.baidu.com/p/2333801249
作者: 天使喝可乐    时间: 2015-9-22 12:01
这个之前看过 答案是
1.中国山东找蓝翔
2.换好 如果不换 就是1/3概率 换了 是1/2概率
作者: taroxd    时间: 2015-9-22 15:47
原本是 1/3，换了之后就是 1-1/3 = 2/3 ，当然换

好老的题目了
作者: swbb    时间: 2015-9-22 15:49
如果主持人打开箱子一看：SHIT！有奖品！该怎么办？不算重来。。。

顺便问一下为毛发贴回贴都要验证码混麻烦
作者: RyanBern    时间: 2015-9-22 16:53
本帖最后由 RyanBern 于 2015-9-22 19:27 编辑

我来分析一下这两个看法的微妙区别在哪。
认为应该换的，并且认为应该换的原因是不换中奖概率为1/3，中奖的概率是2/3的基于以下的分析：
首先，我们假定汽车和羊是随机在三个箱子中，所以可能的排列一共就三种，下面使用G表示山羊，C表示汽车。上面的ABC表示箱子的编号。而横行代表三种情况，在下文中用1.2.3表示。
A|B|C
C|G|G
G|C|G
G|G|C
不失一般性，我们可以假设嘉宾就是选择A箱子，然后我们分析如下：
A|B|C
C|G|G
G|C|G
G|G|C
现在红色表示嘉宾已选的箱子，接下来主持人打开一个箱子，发现是羊（G），那么上面的图变成了下面这样：
A|B|C
C|G|G
G|C|G
G|G|C
因此，不换的话，只能是情况1的条件下才能拿到汽车，而换的话，情况2和3都能拿到汽车，所以换是2/3，不换是1/3。所以，显然应该换。
那么认为换不换无所谓的理由又是什么呢？这个和上面有一点微小差别。
A|B|C
C|G|G
G|C|G
G|G|C
还是现在这个情况，然后主持人打开了一个箱子，我们不妨设主持人打开了B箱子，然后发现是G，那么情况2就不可能出现了。
A|B|C
C|G|G
G|C|G
G|G|C
现在只剩下情况1和情况3，因此换和不换都一样，都是1/2概率。

所以，分歧显而易见，就是如何去理解“主持人打开了一个箱子，发现是G”。如果把它理解成“在剩下的两个箱子里面排除一个含G的”，那么结论就是应该换；如果把它理解成“随便选一个箱子（例如说B），结果B开出了G”，那么结论就应该是无所谓。
显然，在这种情况下，主持人知道正确的答案，所以不会出现翻开一个盒子就出现C的情况。因而，1/3 vs 2/3是所谓的正确答案。
因而，出现了撕逼主要是对前提理解不明确，并不是谁没有学过概率论，条件概率，柯氏理论的问题。

最后，我再用理论推导的方式说明一下为什么是1/3 vs 2/3.
在这里我们还是假设嘉宾就选的时A箱子。
设事件A=抽了A箱子，A箱子里面中奖；事件B=主持人打开了A以外的一个箱子，并且打开的这个箱子里面没有奖。
要求的是P(A|B).
根据条件概率的定义，P(A|B)=P(AB) / P(B)
事件B发生的概率要注意，因为主持人是知道答案的，所以无论怎么选，B事件是一定会发生的，所以P(B)=1.
显然，P(A)=1/3，由全概率公式
P(A)=P(AB)+P(AB*) <---- B*表示B的对立事件，P(B)=1，所以P(B*)=0，进而P(AB*) <= P(B*) = 0.
因此得到P(AB)=P(A)=1/3.
所以所求概率P(A|B)=1/3 / 1 = 1/3.
换句话说，有1/3的可能选中的A箱子子有奖，有2/3的可能选中的A箱子没有奖，因此还是换成别的为好.
所以学好数学没什么用，大家还是学习语文吧
作者: Password    时间: 2015-9-22 17:04
本帖最后由 Password 于 2015-9-22 17:56 编辑

我记得这个流言终结者也做过相关节目，只不过不是箱子，是开门，门后面是奖品。
做了多次试验后结论是换了以后中奖概率是不换的2倍。

【好像是第九季的三门实验
作者: 七重    时间: 2015-9-22 17:19
很老的问题呢 当初还想了挺久的时间
作者: swbb    时间: 2015-9-22 17:49
假设有两个白球一个红球，在不知情的情况下，摸到红球的概率为1/3~~但是这个概率的正确性只保证到摸球之前，因为摸出来以后，是什么球就已经固定发生了，总不能摸出白球还在说自己手上这粒球是红球的概率是1/3(。_。)
所以我想问的是：主持人不管知情不知情，打开一个无奖品BOX以后，此BOX无奖品（或者非汽车）已经事实了，为什么推论时还要把“主持人知道正确的答案？”考虑在内呢？
PS是不是我等级低老被限制啊随便回个话都要验证啊
作者: 13539680966    时间: 2015-9-22 18:41
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作者: 蓝儿    时间: 2015-9-22 18:57
这好像是小学奥数老师出的题_(:з」∠)_
作者: 冷峻逸    时间: 2015-9-22 19:07
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作者: Silentever    时间: 2015-9-22 19:20
不就Monty Hall问题嘛，是时候涨点姿势了
作者: 无忧谷主幻    时间: 2015-9-22 22:16
需不需要我做一个详细的公式？
作者: 冷峻逸    时间: 2015-9-25 19:32
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作者: 冷峻逸    时间: 2015-9-25 21:31
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作者: Password    时间: 2015-9-25 22:39
本帖最后由 Password 于 2015-9-25 22:42 编辑
冷峻逸 发表于 2015-9-25 21:31
1、在观测之前，一切都不确定，概率是在开的那一瞬间确定的（大概）

2、用排列组合做吧


虽然咱在理论上讲的肯定不如RB清楚【说实话看到最后那部分没看懂233
但是咱可以做实验，虽然不知道这个脚本写的是否有问题，但是从结果看应该和理论是一致的。


文件： 三门实验.rar (233.4 KB, 下载次数: 39)
P.S.：每次运行完毕后，txt务必人工清零。
每组试验做20次，然后统计得奖次数并计算这组的百分比，一共做20组。
作者: swbb    时间: 2015-9-29 10:47
啊啊啊~~~本来没想被引导得那么高深哒！但没办法呀网上临时科普了一下，依我目前的理解：条件概率是为了求证当条件发生变化时，概率的变化与条件之间的关系
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网上有个经常被用来举例的古典概型问题：一元硬币两次掷出同一面的概率是？1/2。我们为这个问题加一个条件“掷硬币时至少有一次出菊花”，那么在这条件下，可得1/3。
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8L开出的公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，或者说表达式\方程式~~~嗯，可不就是方程式嘛！Y=MX+N，MN为定值，当X=1时，Y=？所以关键在于（当X=某个值），具体到所谓三门问题，就是（当主持人打开的门里不是汽车）~~~
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那么，当主持人打开的是汽车怎么办？同学，Y=MX+N，我们求的是当X=1时，Y的值
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以上，临时科普后的想法，其实还是固执己见了呵呵
作者: RyanBern    时间: 2015-9-29 12:49
swbb 发表于 2015-9-29 10:47
啊啊啊~~~本来没想被引导得那么高深哒！但没办法呀网上临时科普了一下，依我目前的理解：条件概率是为了求 ...

这位同学，你的回帖思路有点乱，我来梳理一下。
首先是对条件概率的理解问题，你可以将条件概率理解成“当某个事件发生时，这个事件已经成为了题目的大条件，然后再考虑别的事件的概率有无变化”。这样的理解是最初始的理解，想法很好但是极其容易出现误解。因为任何概率的问题都是建立在模型之上，如果忽略模型本身，直接就将条件概率的第一事件当做是一个简单的条件，实际上是不对的。因为在你把它当成简单条件问题的时候，你在暗地中偷偷更换了原有的概率空间，这显然是错误的。
如果不能理解上面那一段话，我们看一个具体的例子。
假如，一共5个人，有一个人既会英语又会法语，有3个人只会英语，有1个人既不会英语也不会法语。那么，随便挑一个人，已知这个人会英语，那么这个人会法语的概率是？你当然会说是1/4。那么，如果这五个人情况是一个人既会英语又会法语，2个人只会英语，2个人既不会英语也不会法语。我再问题同样的问题，那么你肯定会说答案是1/3。这个例子看起来很简单，但是它说明，你考虑条件概率时，不但要看作为条件的事件发生了与否，还要看原始的模型是怎么样的。
我们回到这个题，楼主一直在纠结“主持人开出来的是车”该怎么办，这个问题我一直再强调，但是不知为什么，楼主就是不往心里去。题目中隐含一个条件，那就是“主持人知道车的位置，并且主持人开箱子的时候一定会开出没有车的一个箱子”，而并不是“主持人不知道箱子的位置，随便开出了一个箱子，而实际上开出的箱子里面恰好没有车”，如果是后者，答案必定是1/2 vs 1/2，没有任何争议，但是如果是前者，答案就是1/3 vs 2/3。出现区别的本质就是因为两种情况下的概率模型不同。
如果楼主依然有“不管主持人知不知道，但是开出来了一个没有车的箱子已经成为了事实”这一想法，那我们可以考虑另外的一个情况，如果主持人知道车的位置，并且在第二轮一定会开出有车的箱子，只有当嘉宾选择的箱子是没有车的时候，才会在剩下两个没车的箱子里面随机打开一个。在这个情况下，如果第二轮主持人依然打开了一个没车的箱子，那么你的答案还是换不换都无所谓吗？显然不是，这种情况下你一定不会换。当然你可以说，嘉宾怎么可能知道主持人知不知道，这就是信息对不对称的问题了。如果作为一个上帝视角，你知道所有条件的话，你就应该知道此题的答案确实就是1/3 vs 2/3

PS楼主在回帖中的第三部分没看懂什么意思
作者: swbb    时间: 2015-9-29 16:52
RyanBern 发表于 2015-9-29 12:49
这位同学，你的回帖思路有点乱，我来梳理一下。
首先是对条件概率的理解问题，你可以将条件概率理解成“ ...

你说的原始模型是什么？首先应该不是原始天尊手办什么的，大概是P(AB)或者样本空间？你说我偷换了概率空间，但是依你举的5个人会外语的例子，前后两者无论P(AB)还是样本空间都不一样呀~~~
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LZ的意思是无论主持人是否知情，箱子都已经被开启，而且没开出车，所以从未纠结“主持人开出来的是车”该怎么办，其实我想羞射地表达不存在开出车的情况，因为当条件P(B)列出时，这种情况已经从样本空间里被删掉了，P(B)就是主持人开出了有车的箱子~~~~
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胡扯一句~~~~~主持人是否知情影响的是公式P(A|B)=P(AB)/P(B)中的P(AB)还是P(B)？如果主持人是否知情有影响，那么嘉宾是否知道主持人是否知情是否也影响概率？
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PS 第三分部指哪个分部啊
作者: RyanBern    时间: 2015-9-29 17:28
本帖最后由 RyanBern 于 2015-9-29 20:10 编辑
swbb 发表于 2015-9-29 16:52
你说的原始模型是什么？首先应该不是原始天尊手办什么的，大概是P(AB)或者样本空间？你说我偷换了概率空 ...


既然楼主有概率论基础，那我们就好好说一说。
首先，我举的那个会外语的例子，两个例子中P(AB)是相同的，都是1/5，但是样本空间是完全不同的。
然后，我来说一下主持人知情和不知情的情况下，两种概率空间分别是什么。
先是主持人不知情的情况：
假设三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱子里面是有车的，2号和3号箱子里面没有车。我们用一个二元组(X1, X2)来表示样本空间中所有的样本点。

(嘉宾选的箱子, 主持人开出的箱子)

总共可能有下面几种情况：
(1, 2) --- 1/6
(1, 3) --- 1/6
(2, 1) --- 1/6
(2, 3) --- 1/6
(3, 1) --- 1/6
(3, 3) --- 1/6
注意，此时嘉宾和主持人都不知情，所以嘉宾和主持人都是随便挑的，在这种情况下，主持人可能开出来1号箱子。而后，我们为这几个样本点（所构成的单点集合事件）赋予概率。很显然，六个样本点所赋予的概率都是1/6。当主持人开出一个箱子发现没有奖后，第三个和第五个样本点就已经被去掉。在剩下的点里面，嘉宾选中有车的情况和选择没有车的情况都是两种，而且所有情况概率相等，因此自然是1/2 vs 1/2。
这个解释和楼上猴子的解释是基本相同的。其实际意义也很明显，就是一堆人抽奖，先抽和后抽，以及先抽的人把答案亮出来，这些行为对之后每个人抽到奖的概率（或条件概率）是否相等都没有影响。
试想你和你的两位同学A和B抽签，你们所有人都不知情。三个签里面只有一个签有奖。你先抽，然后A抽，B最后抽。结果A提前把签亮了出来，他没抽到奖。此时，如果按照你的理论，你是不是应该强烈要求和B换一下呢？这种想法显然是不对的。
再看一下主持人知情的情况：
记号还是如上述定义，我们用一个二元组表示所有可能的情况，并且仍然假设1号箱子里是车。那么此时，由于主持人知情，当主持人打开箱子后，一定是没有车的。

(1, 2) --- 1/6
(1, 3) --- 1/6
(2, 3) --- 1/3
(3, 2) --- 1/3

注意，此时主持人知情，所以样本空间中根本没有(2, 1)和(3, 1)这两个点。换句话说，主持人知情使得主持人在开箱子时不是随机的，这个条件改变了所要研究的样本空间。所以，在这个前提下，再使用第一种模型是不对的。然后我们赋予概率。由于嘉宾选择是随机的，所以如果我们只看二元组的第一个分量，那么三种情况的比例应该相同，都是1/3。然后，因为主持人选择是非随机的，我们不妨假设当嘉宾选取有车的箱子后，主持人等可能地在剩下的箱子里面随便选择一个箱子打开。而当嘉宾选择了一个没有车的箱子后，主持人必定将另一个没有车的箱子打开。所以，赋予的概率就如上面所示。然后我们再计算概率，主持人打开了箱子，发现没有车。而样本空间中四个点都是符合你的条件的，一个都不能删掉。所以，嘉宾选中车的情况（即第一个分量为1）概率只有1/3，结果自然是1/3 vs 2/3
然后回答楼主最后提出的问题。主持人是否知情影响的是整个概率空间的建立。在这个例子中，建立的两个概率空间，P(AB)均为1/3，而在第一个模型中，P(B)为2/3，而在第二个模型中P(B)为1。嘉宾是否知道主持人知情对嘉宾本人的判断确实有影响，但是由于我们开了上帝视角，我们知道所有的信息，因此会得出1/3 vs 2/3的结论。但是如果你问：如果嘉宾以为主持人不知情，那么在他看来该不该换？那显然无所谓，因为嘉宾头脑中建立的模型就不一样了。
最后，这句没懂：
可不就是方程式嘛！Y=MX+N，MN为定值，当X=1时，Y=？所以关键在于（当X=某个值），具体到所谓三门问题，就是（当主持人打开的门里不是汽车）~~~
作者: 冷峻逸    时间: 2015-10-1 17:20
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