贴吧里发现一个有趣的MS概率学问题~~

Silentever

不就Monty Hall问题嘛，是时候涨点姿势了

无忧谷主幻

需不需要我做一个详细的公式？

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冷峻逸 发表于 2015-9-25 21:31
1、在观测之前，一切都不确定，概率是在开的那一瞬间确定的（大概）

2、用排列组合做吧

虽然咱在理论上讲的肯定不如RB清楚【说实话看到最后那部分没看懂233
但是咱可以做实验，虽然不知道这个脚本写的是否有问题，但是从结果看应该和理论是一致的。


文件： 三门实验.rar (233.4 KB, 下载次数: 39)

2015-9-25 22:39 上传

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P.S.：每次运行完毕后，txt务必人工清零。
每组试验做20次，然后统计得奖次数并计算这组的百分比，一共做20组。

swbb

啊啊啊~~~本来没想被引导得那么高深哒！但没办法呀网上临时科普了一下，依我目前的理解：条件概率是为了求证当条件发生变化时，概率的变化与条件之间的关系
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网上有个经常被用来举例的古典概型问题：一元硬币两次掷出同一面的概率是？1/2。我们为这个问题加一个条件“掷硬币时至少有一次出菊花”，那么在这条件下，可得1/3。
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8L开出的公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，或者说表达式\方程式~~~嗯，可不就是方程式嘛！Y=MX+N，MN为定值，当X=1时，Y=？所以关键在于（当X=某个值），具体到所谓三门问题，就是（当主持人打开的门里不是汽车）~~~
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那么，当主持人打开的是汽车怎么办？同学，Y=MX+N，我们求的是当X=1时，Y的值
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以上，临时科普后的想法，其实还是固执己见了呵呵

RyanBern

swbb 发表于 2015-9-29 10:47
啊啊啊~~~本来没想被引导得那么高深哒！但没办法呀网上临时科普了一下，依我目前的理解：条件概率是为了求 ...

这位同学，你的回帖思路有点乱，我来梳理一下。
首先是对条件概率的理解问题，你可以将条件概率理解成“当某个事件发生时，这个事件已经成为了题目的大条件，然后再考虑别的事件的概率有无变化”。这样的理解是最初始的理解，想法很好但是极其容易出现误解。因为任何概率的问题都是建立在模型之上，如果忽略模型本身，直接就将条件概率的第一事件当做是一个简单的条件，实际上是不对的。因为在你把它当成简单条件问题的时候，你在暗地中偷偷更换了原有的概率空间，这显然是错误的。
如果不能理解上面那一段话，我们看一个具体的例子。
假如，一共5个人，有一个人既会英语又会法语，有3个人只会英语，有1个人既不会英语也不会法语。那么，随便挑一个人，已知这个人会英语，那么这个人会法语的概率是？你当然会说是1/4。那么，如果这五个人情况是一个人既会英语又会法语，2个人只会英语，2个人既不会英语也不会法语。我再问题同样的问题，那么你肯定会说答案是1/3。这个例子看起来很简单，但是它说明，你考虑条件概率时，不但要看作为条件的事件发生了与否，还要看原始的模型是怎么样的。
我们回到这个题，楼主一直在纠结“主持人开出来的是车”该怎么办，这个问题我一直再强调，但是不知为什么，楼主就是不往心里去。题目中隐含一个条件，那就是“主持人知道车的位置，并且主持人开箱子的时候一定会开出没有车的一个箱子”，而并不是“主持人不知道箱子的位置，随便开出了一个箱子，而实际上开出的箱子里面恰好没有车”，如果是后者，答案必定是1/2 vs 1/2，没有任何争议，但是如果是前者，答案就是1/3 vs 2/3。出现区别的本质就是因为两种情况下的概率模型不同。
如果楼主依然有“不管主持人知不知道，但是开出来了一个没有车的箱子已经成为了事实”这一想法，那我们可以考虑另外的一个情况，如果主持人知道车的位置，并且在第二轮一定会开出有车的箱子，只有当嘉宾选择的箱子是没有车的时候，才会在剩下两个没车的箱子里面随机打开一个。在这个情况下，如果第二轮主持人依然打开了一个没车的箱子，那么你的答案还是换不换都无所谓吗？显然不是，这种情况下你一定不会换。当然你可以说，嘉宾怎么可能知道主持人知不知道，这就是信息对不对称的问题了。如果作为一个上帝视角，你知道所有条件的话，你就应该知道此题的答案确实就是1/3 vs 2/3

PS楼主在回帖中的第三部分没看懂什么意思

swbb

RyanBern 发表于 2015-9-29 12:49
这位同学，你的回帖思路有点乱，我来梳理一下。
首先是对条件概率的理解问题，你可以将条件概率理解成“ ...

你说的原始模型是什么？首先应该不是原始天尊手办什么的，大概是P(AB)或者样本空间？你说我偷换了概率空间，但是依你举的5个人会外语的例子，前后两者无论P(AB)还是样本空间都不一样呀~~~
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LZ的意思是无论主持人是否知情，箱子都已经被开启，而且没开出车，所以从未纠结“主持人开出来的是车”该怎么办，其实我想羞射地表达不存在开出车的情况，因为当条件P(B)列出时，这种情况已经从样本空间里被删掉了，P(B)就是主持人开出了有车的箱子~~~~
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胡扯一句~~~~~主持人是否知情影响的是公式P(A|B)=P(AB)/P(B)中的P(AB)还是P(B)？如果主持人是否知情有影响，那么嘉宾是否知道主持人是否知情是否也影响概率？
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PS 第三分部指哪个分部啊

RyanBern

swbb 发表于 2015-9-29 16:52
你说的原始模型是什么？首先应该不是原始天尊手办什么的，大概是P(AB)或者样本空间？你说我偷换了概率空 ...

既然楼主有概率论基础，那我们就好好说一说。
首先，我举的那个会外语的例子，两个例子中P(AB)是相同的，都是1/5，但是样本空间是完全不同的。
然后，我来说一下主持人知情和不知情的情况下，两种概率空间分别是什么。
先是主持人不知情的情况：
假设三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱子里面是有车的，2号和3号箱子里面没有车。我们用一个二元组(X1, X2)来表示样本空间中所有的样本点。

(嘉宾选的箱子, 主持人开出的箱子)

总共可能有下面几种情况：
(1, 2) --- 1/6
(1, 3) --- 1/6
(2, 1) --- 1/6
(2, 3) --- 1/6
(3, 1) --- 1/6
(3, 3) --- 1/6
注意，此时嘉宾和主持人都不知情，所以嘉宾和主持人都是随便挑的，在这种情况下，主持人可能开出来1号箱子。而后，我们为这几个样本点（所构成的单点集合事件）赋予概率。很显然，六个样本点所赋予的概率都是1/6。当主持人开出一个箱子发现没有奖后，第三个和第五个样本点就已经被去掉。在剩下的点里面，嘉宾选中有车的情况和选择没有车的情况都是两种，而且所有情况概率相等，因此自然是1/2 vs 1/2。
这个解释和楼上猴子的解释是基本相同的。其实际意义也很明显，就是一堆人抽奖，先抽和后抽，以及先抽的人把答案亮出来，这些行为对之后每个人抽到奖的概率（或条件概率）是否相等都没有影响。
试想你和你的两位同学A和B抽签，你们所有人都不知情。三个签里面只有一个签有奖。你先抽，然后A抽，B最后抽。结果A提前把签亮了出来，他没抽到奖。此时，如果按照你的理论，你是不是应该强烈要求和B换一下呢？这种想法显然是不对的。
再看一下主持人知情的情况：
记号还是如上述定义，我们用一个二元组表示所有可能的情况，并且仍然假设1号箱子里是车。那么此时，由于主持人知情，当主持人打开箱子后，一定是没有车的。

(1, 2) --- 1/6
(1, 3) --- 1/6
(2, 3) --- 1/3
(3, 2) --- 1/3

注意，此时主持人知情，所以样本空间中根本没有(2, 1)和(3, 1)这两个点。换句话说，主持人知情使得主持人在开箱子时不是随机的，这个条件改变了所要研究的样本空间。所以，在这个前提下，再使用第一种模型是不对的。然后我们赋予概率。由于嘉宾选择是随机的，所以如果我们只看二元组的第一个分量，那么三种情况的比例应该相同，都是1/3。然后，因为主持人选择是非随机的，我们不妨假设当嘉宾选取有车的箱子后，主持人等可能地在剩下的箱子里面随便选择一个箱子打开。而当嘉宾选择了一个没有车的箱子后，主持人必定将另一个没有车的箱子打开。所以，赋予的概率就如上面所示。然后我们再计算概率，主持人打开了箱子，发现没有车。而样本空间中四个点都是符合你的条件的，一个都不能删掉。所以，嘉宾选中车的情况（即第一个分量为1）概率只有1/3，结果自然是1/3 vs 2/3
然后回答楼主最后提出的问题。主持人是否知情影响的是整个概率空间的建立。在这个例子中，建立的两个概率空间，P(AB)均为1/3，而在第一个模型中，P(B)为2/3，而在第二个模型中P(B)为1。嘉宾是否知道主持人知情对嘉宾本人的判断确实有影响，但是由于我们开了上帝视角，我们知道所有的信息，因此会得出1/3 vs 2/3的结论。但是如果你问：如果嘉宾以为主持人不知情，那么在他看来该不该换？那显然无所谓，因为嘉宾头脑中建立的模型就不一样了。
最后，这句没懂：

可不就是方程式嘛！Y=MX+N，MN为定值，当X=1时，Y=？所以关键在于（当X=某个值），具体到所谓三门问题，就是（当主持人打开的门里不是汽车）~~~