无穷大和无穷大有什么不同

无忧谷主幻

第一级“无穷大”：可数集，例如自然数1、2、3、4、......。

这个基本上所有人都能理解，就是永远不停的数下去。之所以叫“可数集”，是因为每一个自然数，都有一个紧挨着它的“邻居”，比如，1后面是2；2后面是3；3后面是4.......。
“可数”无穷大是最低等级的无穷大，也是最小的无穷大。

第二级“无穷大”：连续集，例如一条直线上所有的点。

看下面这条线段，它上面有无穷多个“点”，但是，对于任何一个“点”，你都不可能找到一个紧挨着这个点的“邻居”，因为，任何两点之间，仍然有无穷多个点。这种无穷大是“不可数”的，也称作“连续集”。

第三级“无穷大”：曲线集。

前面两个无穷大，还是比较容易理解的，但是，再往下就不那么简单了。
什么样的集合，它的元素个数会比一条直线上所有的点都多？你可能会说，两条直线呗！恭喜你，答错了！
因为，一条直线上的点，和两条直线上的点，完全可以通过某种方法，建立起一种“一一对应”的关系，也就是说，一条直线上的点，与两条直线（或3条、4条.....）上的点，个数是一样多的。为避免把大家绕糊涂，这事儿就不说那么细了，反正，从数学上可以严格证明这一点。
但是，下面这个“曲线集”，是比连续集更高一个级别的无穷大：

假想你面前有张白纸，你可以在上面画条直线，也可以画个圆、正方形、菱形，甚至你还可以画个美女、画个汽车。所有这些“图形”的集合，就叫“曲线集”。如果你还没有忘记高中数学的话，应该知道“函数”这个词，没错，所谓“曲线集”，就是所有函数的集合，更专业一点，叫“泛函”。
为什么说“曲线集”比“连续集”更大呢？
因为，“连续集”虽然“不可数”，但却是“有序”的。就任何一个点而言，虽然它没有紧挨着的“邻居”，但是，所有的点可以按照从左到右的顺序一字排开，只不过“很密”而已。
然而，“曲线集”的元素如此之多，以至于连排序都不可能。你如何为所有的图形“排序”呢？你总不能说“正方形”大于“圆”，或者“长发美女”小于“自行车”吧。

第四级“无穷大”：大基数。

“曲线集”已经够费事了，如何理解比“曲线集”更大的“大基数”？坦白地说，很难。我就大概一说，您凑合着看吧。
第一级无穷大是“可数的”；
第二级无穷大虽然“不可数”，但却是有序的；
第三级无穷大“曲线集”虽然无序，但却可以用“组合”的方法，由第二级无穷大构造出来。
你想想看，我们可以把任何一条曲线“捋直”，这不就是一条直线么？也就是说，“曲线集”中的任何一个元素，都是“连续集”的某一个部分，换句话说，如果把“连续集”的每一个子集都看成一个元素的话，所有这些子集构成的集合，就是“曲线集”。
这种“把所有子集取出来，再聚合在一起构成一个更大的集合”的组合方式，叫做“幂集”。第三级无穷大虽然已经大的不得了，但仍然可以通过“幂集”的方法，由低一级的无穷大构造出来。
所谓第四级无穷大，是这种无穷大实在太大，以至于根本无法通过“幂集”的方法，由“曲线集”构造出来，可以说，已经大到了完全无法想象的地步，只存在于纯粹的抽象思维中，连个具体的例子都找不到。而且，这种无穷大并非臆想，它是真实存在的，数学上称之为“大基数”。
实际上，还有比“大基数”更大的“超大基数”、“不可达基数”、“怪兽基数”等等，有无穷多个等级，无穷无尽。

这方面的话题，真的不能多想，就像“人为什么活着”一样，想多了容易发疯。不过如果觉得还不过瘾，可以去网上找一本叫《神秘的阿列夫》的书去看看。

补充之一：《神秘的阿列夫》一书作者是美国人阿米尔·艾克塞尔，2008年由上海科学技术文献出版社翻译出版，本人跟此书没有关系，向中纪委保证。
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补充之二：在第一级无穷大和第二级无穷大之间，是否还存在1.5级无穷大？这是数学中著名的“连续统问题”，也是著名数学家希尔伯特在1900年的数学大会上排在第一位的难题。目前此难题已经解决，但结果出乎所有人的预料：此问题既没有肯定答案，也没有否定答案，无解。是的，最终的答案就是：没有答案，而且这个结果是个严格的数学证明。

taroxd

你们都搞错了，楼主比较的是无穷大，不是集合的势

比较无穷大很简单，除一下就行了
比如 x 趋向于 +∞ 时，x^2 是比 x^1 更高阶的无穷大，因为 x^2 / x^1 = x -> +∞

RyanBern

无忧谷主幻 发表于 2016-5-29 20:00
[fold=第一级“无穷大”：可数集，例如自然数1、2、3、4、......。]这个基本上所有人都能理解，就是永远不 ...

按照当今流行的对曲线的定义，你提到的所谓“第三级无穷大”，也就是“平面上所有连续曲线的集合”，这个无穷大和你所谓“第二级无穷大”具有相同的基数。

顺便说一句，对无穷大分级这种做法是不合理的。（这让我想到了叶子同学对无理数进行分门别类，以至于出现了pi系，e系，√2系这样奇怪的名称）

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你说“曲线集”的元素数量要比实数的数量要多，提出的理由是“曲线集”无法建立一个全序关系，而实数上有一个自然的全序关系。这种看法是完全错误的。我举一个简单的例子，一条直线上的点的数量 vs 平面上的点的数量，前者有个自然的序，而后者没有一个自然的序。但是事实是两者具有相同的基数c。

对于“曲线集”来讲，情况也是相同的。按照主流的对曲线的定义，假设我们研究平面上的连续曲线，平面上的连续曲线的定义是一个连续向量函数，定义在区间I上，值域是二维平面上的点。即
x = f(t); y = g(t);
其中f(t)和g(t)都是关于t的连续函数。而定义在实数集上的连续函数的集合的基数是c（具体的证明如果有兴趣可以继续管我要），由于在平面上一个曲线可以用两个连续函数表示，而两个基数为c的集合的迪卡尔乘积的集合仍然是c，因此我认为“曲线集”的基数是c，换句话说，你的第二级无穷大和第三级无穷大是一样大的。

如果想要构造更大的无穷大，最简单的办法就是取完整的幂集。至于“曲线集”相比实数集的幂集，那恐怕是少太多了。

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刚才又看了一遍你的回复，发现你所谓的“曲线集”并不是通常理解上的“二维连续曲线组成的集合”，而是所谓“函数的全体”。如果考虑全体定义在实数集上的函数所组成的集合的话，这个集合的基数确实大于c。因此你在说明的时候请不要利用“图形”等概念进行类比，因为这很容易误导别人。如果你想要拿平面图形来具体化函数全体的话，这种具体化的方式是不对的。

无忧谷主幻

并不是所有无穷大都相等，它们甚至可以比较大小。
也许您会笑：这还能比吗？数都数不清，如何比较？
但是，且慢下这样的结论啊，还是让我们来比较一番好了。
比较的方法很简单：如果我们不能数数，怎么比较一堆东西和另一堆东西的多少？
很自然的，我们会从第一堆中拿一个，和第二堆中的一个放在一起；然后重复上面的动作，如果第一堆的东西先没了，那就是第二堆多；如果是第二堆东西先没了，那就是第一堆多。
无穷大的比较就是用这种办法比较的，比如：要比较整数和偶数哪个多，我们就会列出下面的对应关系：
……
1——2
2——4
3——6
……
这样下去，所有的整数就和所有的偶数一一对应上了，这意味着所有的整数和所有的偶数一样多！

那所有的分数（即有理数）与整数的关系又如何呢？您可以照这样的法则写下所有的分数：先写下分子分母之和为2的分数：1/1；接着是分子分母之和为3的：1/2，2/1；然后是分子分母之和为4的：1/3，2/2，3/1；……这样一直写下去，最后把整数数列写在旁边就可以了。如此一来，我们就很容易地建立了分数与整数的一一对应关系，当然它们的个数也是相等的。

这有点骇人听闻，但是，我们是在研究无穷大，自然有些不寻常。

可是，这是不是意味着所有的无穷大都相等呢？

不是，比如说：“所有整数的个数”与“一条直线上所有几何点的个数”那个多？

我们知道，一条线上所有的点是由实数构成的，包括有理数和无理数。但是，我们不可能像刚才写下所有的有理数那样，写下所有的无理数，因此，实数与整数间的一一对应关系就建立不起来了。我们只能将有理数和整数一一配对，剩下的是无理数，所以，“一条线上所有几何点的个数”比“所有整数的个数”要多。

零级无穷大：所有整数的数量

一级无穷大：所有小数的数量（等于上面提及的线上所有的点数、面上所有的点数、立体上所有的点数）

二级无穷大：在一张纸上随意地画线条，所有可能画出的线条数目（曲线样式的数目）

yang1zhi

我只知道无穷大，不知道一级无穷大，二级无穷大

Vortur

这...这话题在下完全插不上话...瀑布汗
收藏了慢慢看各层主的回复。介于大家每人都提出了一个很好的知识，在下才疏学浅，只好为大家献上一首歌：“太阳太阳，给我们带来，起色呃光昂昂彩...”

这是一个中学生知道的知识？！

taroxd

Vortur 发表于 2016-5-30 01:46
这...这话题在下完全插不上话...瀑布汗
收藏了慢慢看各层主的回复。介于大家每人都提出了一个很好的知识， ...

这还真是中学生知道的知识，我们高中上课讲过，而且上课讲之前班里每个学生都知道

“定义在实数集上的连续函数的集合的基数是c”这句话除外

另外我5L是卖萌请大家无视（逃